Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₇=49，a₄和a₈的等差中項為11．
（I）求a_n及S_n；
（Ⅱ）證明：當(dāng)n≥2時，有$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}＜2$．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．
（II）n≥2時，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，即可得出．

解答 （I）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}公差為d，∵S₇=49，a₄和a₈的等差中項為11．
∴7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=49，2×11=a₄+a₈=2a₁+10d，
聯(lián)立解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²．
（II）證明：n≥2時，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2-$\frac{1}{n}$＜2．
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}＜2$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、不等式的性質(zhì)、放縮法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．