Question

【題目】如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，，為側(cè)面的對角線的交點，，分別是，中點

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)先由面面平行的判定定理證明平面平面，即可得到平面；

（2）分別以、，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，根據(jù)法向量夾角余弦值即可得出結(jié)果.

（1）證明：由分別為邊、的中點，可得，

又由直三棱柱可知側(cè)面為矩形，可得，故有，

由直三棱柱可知側(cè)面為矩形，可得為的中點，

又由為的中點，可得．

由，平面，，平面，

得平面，平面，

又，可得平面平面，

因為平面，

所以平面；

（2）分別以、，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，，，，,,，，

設(shè)平面的一個法向量為，則

取，有

同理可求出平面的一個法向量，

結(jié)合圖形知二面角的余弦值為.