Question

8．如圖所示，四面體ABCD中，已知平面BCD⊥平面ABC，BD⊥DC，BC=6，AB=4$\sqrt{3}$，∠ABC=30°．
（I）求證：AC⊥BD；
（II）若二面角B-AC-D為45°，求直線AB與平面ACD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理計(jì)算AC，得出AC⊥BC，再利用面面垂直的性質(zhì)得出AC⊥平面BCD，從而有AC⊥BD；
（II）證明BD⊥平面ACD，于是∠BAD為所求角，先計(jì)算BD，在Rt△ABD中計(jì)算sin∠BAD．

解答 （I）證明：△ABC中，由余弦定理得AC²=36+48-2×$6×4\sqrt{3}×cos30°$=12，
∴$AC=2\sqrt{3}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，AC?平面ABC，
∵AC⊥平面BCD．又∵BD?平面BCD，
∴AC⊥BD．
（II）解：∵AC⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AC⊥CD．又∵BC⊥AC，
∴∠BCD是平面DAC與平面BAC所成的二面角的平面角，即∠BCD=45°．
∵BD⊥CD，AC⊥BD，CD?平面ACD，AC?平面ACD，CD∩AC=C，
∴BD⊥平面ACD．
∴∠BAD是AB與平面ACD所成的角．
Rt△ACD中，$BD=BCsin{45°}=3\sqrt{2}$，
∴$sin∠BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
即求直線AB與平面ACE所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定，空間角的計(jì)算，屬于中檔題．