Question

19．已知函數(shù)f（x）=（ax+2）lnx-（x²+ax-a-1）（a∈R）
（ I）若函數(shù)f（x）的圖象在x=e處的切線的斜率為$\frac{2}{e}$-2e，求f（x）的極值；
（ II）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）的圖象恒在x軸下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出，
（Ⅱ）先求導(dǎo)，再構(gòu)造g（x）=alnx-2x+$\frac{2}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，根據(jù)函數(shù)的最值即可判斷f（x）的圖象是否恒在x軸下方

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=$\frac{ax+2}{x}$+alnx-（2x+a）=alnx-2x+$\frac{2}{x}$，x＞0，
∴f′（e）=a-2e+$\frac{2}{e}$=$\frac{2}{e}$-2e，
∴a=0，
∴f（x）=2lnx-x²+
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2-2{x}^{2}}{x}$=-$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，函數(shù)f（x）遞增，
令f′（x）＜0，解得x＞1，函數(shù)f（x）遞減，
∴f（x）_極大值=f（1）=0，無極小值，
（2）由（1）可知f′（x）=alnx-2x+$\frac{2}{x}$，x＞0，
令g（x）=alnx-2x+$\frac{2}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{a}{x}$-2-$\frac{2}{{x}^{\;}}$=$\frac{1}{x}$（a-2x-$\frac{2}{x}$），
當(dāng)x＞1時(shí)，x+$\frac{1}{x}$＞2，有a-2x-$\frac{2}{x}$＜a-4，
①若a-4≤0，即a≤4時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
則當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜g（1）=0，即f′（x）＜0，故f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜f（1）=0，
故當(dāng)a≤4，x＞1時(shí)，f（x）的圖象恒在x軸的下方，
②若a-4＞0，即a＞4時(shí)，令g′（x）＞0，可得1＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$，
故g（x）在區(qū)間（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$）上單調(diào)遞減，
故當(dāng)1＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$時(shí)，g（x）＞g（1）=0，
故f（x）在區(qū)間（1，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$）上單調(diào)遞增，
故當(dāng)1＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$時(shí)，f（x）＞f（1）=0，
故當(dāng)a＞4，x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象不可恒在x軸下方，
綜上可知，a的取值范圍是（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及極值和關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題