Question

1．已知$f（x）={log_{0.5}}（{x^2}-mx-m）$．
（1）若函數(shù)f（x）的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間$（-2，-\frac{1}{2}）$上是遞增的，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可；
（2）根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由函數(shù)$f（x）={log_{0.5}}（{x^2}-mx-m）$的定義域為R可得：
不等式x²-mx-m＞0的解集為R，∴△=m²+4m＜0，解得-4＜m＜0，
∴所求m的取值范圍是：m∈（-4，0）．
（2）由函數(shù)f（x）在區(qū)間$（-2，-\frac{1}{2}）$上是遞增的，
得：g（x）=x²-mx-m區(qū)間$（-2，-\frac{1}{2}）$上是遞減的，
且g（x）＞0在區(qū)間$（-2，-\frac{1}{2}）$上恒成立；
則$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}≥-\frac{1}{2}}\\{g（-\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}m-m≥0}\end{array}}\right.$，解得$m∈[{-1，\frac{1}{2}}]$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．