Question

12．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}滿足${a_2}=\frac{1}{2}$，且a₃，a₅，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記${b_n}={3^n}{a_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），并用第二項(xiàng)及公差表示出第三、五、九項(xiàng)，然后利用a₃，a₅，a₉成等比數(shù)列，計(jì)算可知公差，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；
（2）通過(guò)（1）可知b_n=$\frac{1}{2}$n•3ⁿ，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
由${a_2}=\frac{1}{2}$可知a₃=$\frac{1}{2}$+d，a₅=$\frac{1}{2}$+3d，a₉=$\frac{1}{2}$+7d，
∵a₃，a₅，a₉成等比數(shù)列，
∴$（\frac{1}{2}+3d）^{2}$=（$\frac{1}{2}$+d）（$\frac{1}{2}$+7d），
整理得：d²=$\frac{1}{2}$d，
解得：d=$\frac{1}{2}$或d=0（舍），
∴a_n=$\frac{1}{2}$+（n-2）$\frac{1}{2}$=$\frac{n-1}{2}$；
（2）由（1）可知${b_n}={3^n}{a_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$n•3ⁿ，
∴S_n=$\frac{1}{2}$[1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ]，
3S_n=$\frac{1}{2}$[1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹]，
兩式相減得：-2S_n=$\frac{1}{2}$（3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹），
∴S_n=-$\frac{1}{4}$[$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹]
=$\frac{2n-1}{8}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．