Question

已知公比為q（q≠1）的無窮等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=1．
（1）若q=

1

3

，在a₁與a₂之間插入k個數(shù)b₁，b₂，…，b_k，使得a₁，b₁，b₂，…，b_k，a₂，a₃成等差數(shù)列，求這k個數(shù)；
（2）對于任意給定的正整數(shù)m，在a₁，a₂，a₃的a₁與a₂和a₂與a₃之間共插入m個數(shù)，構(gòu)成一個等差數(shù)列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；
（3）當(dāng)且僅當(dāng)q取何值時，在數(shù)列{a_n}的每相鄰兩項a_k，a_k+1之間插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）個數(shù)，使之成為一個等差數(shù)列？并求c₁的所有可能值的集合及{c_n}的通項公式（用q表示）．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：壓軸題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由條件得1，b₁，b₂，…b_k，

1

3

，

1

9

成等差數(shù)列，求出公差d=-

2

9

，k=2，即可求這2個數(shù)；
（2）設(shè)a₁與a₂之間插入k個數(shù)，k∈N，且k≤m，則在a₂與a₃之間插入（m-k）個數(shù)，由條件這等差數(shù)列第一項為a₁=1，第k+2項為a₂=q，第m+3項為a₂=q²，列出方程，即可求公比q的所有可能取值的集合；
（3）當(dāng)且僅當(dāng)q∈N，且q≥2時，在數(shù)列{a_n}的每相鄰兩項a_k，a_k+1之間插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）個數(shù)，使之成為一個等差數(shù)列，再進行證明即可．

解答： 解：（1）由條件得1，b₁，b₂，…b_k，

1

3

，

1

9

成等差數(shù)列，
所以公差d=-

2

9

，k=2，
所以這2個數(shù)為：b₁=

7

9

，b₂=

5

9

；                                            …（2分）
（2）設(shè)a₁與a₂之間插入k個數(shù)，k∈N，且k≤m，則在a₂與a₃之間插入（m-k）個數(shù)，
由條件這等差數(shù)列第一項為a₁=1，第k+2項為a₂=q，第m+3項為a₂=q²，
所以

q-1

k+1

=

q2-q

m-k+1

，q≠1，
所以q=

m-k+1

k+1

，且 k≠

m

2

；
所以公比q的所有可能的取值的集合{ q|q=

m-k+1

k+1

，k∈N，k≤m且k≠

m

2

}；…（6分）
（3）當(dāng)且僅當(dāng)q∈N，且q≥2時，在數(shù)列{a_n}的每相鄰兩項a_k，a_k+1之間插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）個數(shù)，使之成為一個等差數(shù)列；
證明如下：
（i）當(dāng)q∈N，且q≥2時，新構(gòu)成的等差數(shù)列可以是正整數(shù)數(shù)列1，2，3，…，顯然滿足條件；      …（8分）
（ii） 若在數(shù)列{a_n}的每相鄰兩項a_k，a_k+1之間插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）個數(shù)，使之成為一個等差數(shù)列，這個等差數(shù)列設(shè)為{b_n}，則對于任意的k∈N^*，都有

ak+1-ak

ck+1

=

ak+2-ak+1

ck+1+1

，
即

qk-qk-1

ck+1

=

qk+1-qk

ck+1+1

，q≠1且q≠0，
所以q=

ck+1+1

ck+1

，c_k+1，c_k∈N，
所以q為正有理數(shù)，{a_n}為正項無窮等比數(shù)列，
若q不為整數(shù)，不妨設(shè)q=

t

p

，其中p，t∈N^*，p與t互質(zhì)，且p≥2，
等差數(shù)列{b_n}的公差為d=

p

c1+1

=

t-p

(c1+1)p

，通項為b_n=1+（n-1）

t-p

(c1+1)p

；
則數(shù)列{（c₁+1）pb_n}的各項都為整數(shù)，
則對于任意的n∈N^*，（c₁+1）p a_n∈N^*，
即對于任意的n∈N^*，（c₁+1）p（

t

p

）^n-1∈N^*，
即于任意的n∈N^*，由p與t互質(zhì)，則（c₁+1）p都能被p^n-1整除，p≥2，且p∈N^*，
這是不可能的，
所以q為正整數(shù)，又q≠1，
所以q∈N，且q≥2；                                                          …（12分）
當(dāng)q∈N，且q≥2時，
對于首項為1，第（c₁+1）項為q的等差數(shù)列{b_n}，則公差d=

q-1

c1+1

，
令a_n=b_m，即q ^n-1=1+（m-1）

q-1

c1+1

（n∈N^*），
有m=（c₁+1）

qn-1-1

q-1

+1∈N^*，
所以a_n是{b_n}中的第[（c₁+1）

qn-1-1

q-1

+1]項，
所以c₁的所有可能值的集合是自然數(shù)集N；                     …（14分）
對于任意的自然數(shù)c₁，
由

cn+1+1

cn+1

=q，q∈N，n∈N^*且q≥2知{c_n+1}是首項為c₁+1，公比為q的等比數(shù)列，
所以{c_n}的通項公式為c_n=（c₁+1）q^n-1-1．                         …（16分）

點評：本題考查的是數(shù)列的應(yīng)用，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查反證法思想的運用，難度大，學(xué)生很難解決．