Question

10．高考數(shù)學(xué)試題中共有10道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選1項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分．”某考生每道題都給出了一個(gè)答案，已確定有6道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道題都可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜，試求出該考生：
（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）得多少分的可能性最大；
（Ⅲ）所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，該考生10道題全答對(duì)即另四道題也全答對(duì)，根據(jù)相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，計(jì)算可得答案．
（Ⅱ）該考生選擇題得分的可能取值有：30，35，40，45，50共五種．設(shè)選對(duì)一道“可判斷2個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”題目為事件A，“可判斷1個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”該題選對(duì)為事件B，“不能理解題意的”該題選對(duì)為事件C．得分為30，表示只做對(duì)有把握的那4道題，其余各題都做錯(cuò)；得分為35時(shí)，表示做對(duì)有把握的那4道題和另外四題中的一題；得分為40時(shí)，表示做對(duì)有把握的那4道題和另外四題中的二題；得分為45時(shí)，表示做對(duì)有把握的那4道題和另外四題中的三題；得分為50時(shí)，表示10題全部做對(duì)，做出概率．
（Ⅲ）由題意知變量的可能取值分別是30，35，40，45，50，根據(jù)第二問做出的結(jié)果，寫出離散型隨機(jī)變量的分布列，根據(jù)期望的定義，即可求出期望

解答 解：（Ⅰ）得分為50分，10道題必須全做對(duì)．
在其余的四道題中，有兩道題答對(duì)的概率為$\frac{1}{2}$，有一道題答對(duì)的概率為$\frac{1}{3}$，還有一道答對(duì)的概率為$\frac{1}{4}$，所以得分為5（0分）的概率為：P=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{48}$；
（Ⅱ）依題意，該考生得分的范圍為{30，35，40，45，50}．
得分為30分表示只做對(duì)了6道題，其余各題都做錯(cuò)，所以概率為：P₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{8}$．
同樣可以求得得分為35分的概率為：P₂=${C}_{2}^{1}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{17}{48}$．
得分為40分的概率為：P₃=$\frac{17}{48}$；        得分為4（5分）的概率為：P₄=$\frac{7}{48}$；
得分為50分的概率為：P₅=$\frac{1}{48}$．
所以得35分或得40分的可能性最大；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知ξ的分布列為：

ξ	30	35	40	45	50
P	$\frac{6}{48}$	$\frac{17}{48}$	$\frac{17}{48}$	$\frac{7}{48}$	$\frac{1}{48}$

∴Eξ=30×$\frac{6}{48}$+35×$\frac{17}{48}$+40×$\frac{17}{48}$+45×$\frac{7}{48}$+50×$\frac{1}{48}$=$\frac{455}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查互斥事件的概率，考查學(xué)生利用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，是一個(gè)綜合題目．