Question

6．已知銳角三角形的邊長分別為1，3，a，則a的范圍是（　�。�

• A． （8，10）
• B． （2$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$）
• C． （2$\sqrt{2}$，10）
• D． （$\sqrt{10}$，8）

Answer 1

分析 由已知中△ABC三邊長分別為1、3、a，根據(jù)余弦定理的推論得到△ABC為銳角三角形時，由兩邊長1和3求出a的范圍，但3與a邊均有可能為最大邊，故要分類討論．

解答 解：∵△ABC三邊長分別為1、3、a，
又∵△ABC為銳角三角形，
當(dāng)3為最大邊時，a≤3，設(shè)3所對的角為α，
則根據(jù)余弦定理得：cosα=$\frac{{a}^{2}+1-9}{2a}$＞0，
∵a＞0，∴a²-8＞0，
解得：2$\sqrt{2}$＜a≤3；
當(dāng)a為最大邊時a＞3，設(shè)a所對的角為β，
則根據(jù)余弦定理得：cosβ=$\frac{1+9-{a}^{2}}{6}$＞0，
∴10-a²＞0，解得：3＜a＜$\sqrt{10}$，
綜上，實數(shù)a的取值范圍為（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$），
故選：B．

點評 此題考查了余弦定理，利用了分類討論的思想．解答本題的關(guān)鍵是利用余弦定理推論出最大邊所對角的余弦值大于0，進(jìn)而根據(jù)兩邊長1和2求出第三邊a的取值范圍．