Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R），F(xiàn)（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$．
（1）若f（-1）=0，且對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，求F（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)m＞0，n＜0，且m+n＞0，a＞0，f（x）為偶函數(shù)，求證：F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（-1）=0，和對任意x均有f（x）≥0可知，f（x）圖象和x軸只有一個交點，所以得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{-\frac{2a}=-1}\end{array}\right.$，這樣解出a=1，b=2，從而得到F（x）；
（2）先求出g（x）=x²+（2-k）x+1，根據(jù)該函數(shù)在[-2，2]上為單調(diào)函數(shù)以及二次函數(shù)單調(diào)性和對稱軸的關(guān)系即可得到關(guān)于k的不等式，解不等式即得k的取值范圍；
（3）根據(jù)F（x）的解析式容易判斷該函數(shù)為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以根據(jù)m＞-n＞0即可得到F（m）+f（n）＞0．

解答 解：（1）根據(jù)已知條件得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{-\frac{2a}=-1}\end{array}\right.$；
解得a=1，b=2；
∴$F（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-1}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）g（x）=x²+（2-k）x+1；
該函數(shù)對稱軸為x=$\frac{k-2}{2}$，且g（x）在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)；
∴$\frac{k-2}{2}≤-2，或\frac{k-2}{2}≥2$；
∴k≤-2，或k≥6；
∴實數(shù)k的取值范圍為（-∞，-2]∪[6，+∞）；
（3）證明：f（x）為偶函數(shù)，∴b=0；
f（x）=ax²+1；
a＞0；
∴x＞0時，F(xiàn)（x）為增函數(shù)；
F（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{x＜0}\\{-f（x）}&{x＞0}\end{array}\right.=-\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{x＞0}\\{-f（x）}&{x＜0}\end{array}\right.$=-F（x）；
∴F（x）為奇函數(shù)；
∵m＞0，n＜0，m+n＞0；
∴m＞-n＞0；
∴F（m）＞F（-n）；
∴F（m）＞-F（n）；
∴F（m）+F（n）＞0．

點評 考查對于二次函數(shù)f（x）≥0恒成立時f（x）的圖象和x軸的關(guān)系：最多一個交點，二次函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸的關(guān)系，奇函數(shù)的定義及判斷方法，判斷分段函數(shù)奇偶性的方法與過程，函數(shù)單調(diào)性定義的運用．