【題目】已知,,其中均為實(shí)數(shù).
(I)求的極值;
(II)設(shè),,求證:對(duì),恒成立.
(III)設(shè),若對(duì)給定的,在區(qū)間上總存在使得成立,求的取值范圍.
【答案】(I)極大值,無(wú)極小值;(II)證明見解析;(III).
【解析】
試題分析:(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后求解極值;(II)通過(guò),,化簡(jiǎn),利用函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化原不等式轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù),利用新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,證不等式成立;(III)由(1)得的最大值,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷,不滿足題意;當(dāng)時(shí),要使得,的極值點(diǎn)必在區(qū)間內(nèi),求出的范圍,當(dāng),利用在上的值域包含于在和上的值域,推出關(guān)系式,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值,然后推出.
試題解析:(I)∵,∴,∴,,∴極大值,無(wú)極小值;
(II)∵,,
∴,在上是增函數(shù).
∴,在上是增函數(shù).
設(shè),則原不等式轉(zhuǎn)化為,
即.
令,
即證,,即在,
∵在恒成立,
即在,即所證不等式成立.
(III)由(I)得在,,,
所以.
又,當(dāng)時(shí),,在,不符合題意.
當(dāng)時(shí),要使得,
那么由題意知的極值點(diǎn)必在區(qū)間內(nèi),即.
得,且函數(shù)在,,
由題意得在上的值域包含于在和上的值域.
∴內(nèi),.
下面證時(shí),,取,先證,即證.
令,∴,在內(nèi)恒成立.
∴,∴,∴.
再證,∵,∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,直線過(guò)點(diǎn).
(1)求圓的圓心坐標(biāo)和半徑;
(2)若直線與圓相切,求直線的方程;
(3)若直線與圓相交于P,Q兩點(diǎn),求三角形CPQ的面積的最大值,并求此時(shí)
直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知分別為橢圓左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且軸,的周長(zhǎng)為6.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線與直線的傾斜角互補(bǔ),證明:直線的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)鋁合金窗分為上、下兩欄,四周框架和中間隔檔的材料為鋁合金,寬均為6,上欄與下欄的框內(nèi)高度(不含鋁合金部分)的比為1:2,此鋁合金窗占用的墻面面積為28800,設(shè)該鋁合金窗的寬和高分別為,鋁合金窗的透光部分的面積為.
(1)試用表示;
(2)若要使最大,則鋁合金窗的寬和高分別為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,,是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)()的圖象與直線()相切,并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列,且的最大值為1.
(1),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若為曲線的一條切線,求a的值;
(2)已知,若存在唯一的整數(shù),使得,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在四棱錐中,底面是正方形, .
(1)如圖2,設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),求證: 平面;
(2)已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,請(qǐng)你在網(wǎng)格紙上用粗線畫圖1中四棱錐的府視圖(不需要標(biāo)字母),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),橢圓:的離心率為,是橢圓的右焦點(diǎn),直線的斜率為,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于,兩點(diǎn),當(dāng)的面積最大時(shí),求的直線方程.
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