Question

11．定義域?yàn)椋?2，1]的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=2f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x²-x．若方程f（x）=m有4個根，則m的取值范圍為（　�。�

• A． [-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$]
• B． （-$\frac{1}{8}$，-$\frac{1}{16}$）
• C． [-$\frac{1}{8}$，-$\frac{1}{16}$]
• D． （-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出x∈（-2，-1]時f（x）的解析式，再求f（x）在區(qū)間[-2，-1]上的最小值，再求x∈[-1，0]的解析式，求得最小值；求得x∈[0，1]時的解析式，求得最小值，畫出f（x）的圖象，通過圖象觀察，y=f（x）的圖象和直線y=m有4個交點(diǎn)的情況，即可得到m的范圍．

解答 解：當(dāng)x∈（-2，-1]時，x+2∈（0，1]，
∴f（x+2）=（x+2）²-（x+2）=x²+3x+2，
又f（x+1）=2f（x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=2f（x+1）=4f（x），
∴4f（x）=x²+3x+2（-2＜x≤-1），
∴f（x）=$\frac{1}{4}$（x²+3x+2）=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{16}$（-2＜x≤-1），
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時，f（x）取得最小值-$\frac{1}{16}$；
當(dāng)x∈[-1，0]，則x+1∈[0，1]，
故由已知條件可得f（x+1）=（x+1）²-（x+1）=x²+x=2f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（x²+x）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
故當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為-$\frac{1}{8}$，
當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，取得最小值-$\frac{1}{4}$．
作出函數(shù)f（x）在（-2，1]的圖象，
方程f（x）=m有4個根，即為y=f（x）與直線y=m有4個交點(diǎn)，
由圖象可得-$\frac{1}{8}$＜m＜-$\frac{1}{16}$，有4個交點(diǎn)．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查了函數(shù)的解析式以及在閉區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題．