Question

2．若函數(shù)y=2sin²x+acosx+b的最大值是-$\frac{1}{2}$，最小值是-5，求a，b的值（其中a＞0）．

Answer 1

分析 令t=cosx∈[-1，1]，則函數(shù)y=f（t）=-2${（t-\frac{a}{4}）}^{2}$+b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$，它的最大值是-$\frac{1}{2}$，最小值是-5，$\frac{a}{4}$＞0．根據(jù)它的最值、利用二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論求得a、b的值．

解答 解：根據(jù)函數(shù)y=2sin²x+acosx+b=2-2cos²x+acosx+b=-2${（cosx-\frac{a}{4}）}^{2}$+b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$，
令t=cosx∈[-1，1]，則函數(shù)y=f（t）=-2${（t-\frac{a}{4}）}^{2}$+b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$，它的最大值是-$\frac{1}{2}$，最小值是-5．
由a＞0，可得$\frac{a}{4}$＞0．
①當$\frac{a}{4}$∈[0，1]，即 a∈[0，4]時，在[-1，1]上，函數(shù)f（t）的最大值為f（$\frac{a}{4}$）=b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$=-$\frac{1}{2}$，最小值f（1）=-2${（1-\frac{a}{4}）}^{2}$+b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$=-5，
求得a=10，b=-$\frac{35}{4}$．
②當$\frac{a}{4}$＞1，即 a＞4時，y在[-1，1]上單調(diào)遞增，故有最小值f（-1）=-2${（-1-\frac{a}{4}）}^{2}$+b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$=-5，最大值f（1）=-2${（1-\frac{a}{4}）}^{2}$+b+2+$\frac{{a}^{2}}{8}$=-$\frac{1}{2}$，
求得a=-$\frac{9}{4}$（不滿足條件舍去）．
綜上可得，a=10，b=-$\frac{35}{4}$．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．