Question

10．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{{e}^{x}}，x≥0}\\{-x．x＜0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為．

• A． （$\frac{1}{e}$，2）∪（2，e）
• B． （$\frac{1}{e}$，1）
• C． （1，$\frac{1}{e}$+1）
• D． （$\frac{1}{e}$，e）

Answer 1

分析 由方程f²（x）-mf（x）+m-1=0可解得f（x）=1或f（x）=m-1；從而可得方程f（x）=m-1有3個不是-1的根；再分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性及取值即可．

解答 解：解方程f²（x）-mf（x）+m-1=0得，
f（x）=1或f（x）=m-1；
解f（x）=1得x=-1，
故方程f（x）=m-1有3個不是-1的根；
當(dāng)x≥0時，
f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$；
故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
f（0）=0，f（1）=$\frac{1}{e}$，$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{x}{{e}^{x}}$=0；
當(dāng)x＜0時，
f（x）=-x在（-∞，0）上是減函數(shù)，且+∞→0；
故若使方程f（x）=m-1有3個不是-1的根，
則0＜k-1＜$\frac{1}{e}$；
即$\frac{1}{e}$＜k＜1+$\frac{1}{e}$；
故選C．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．