Question

已知點(diǎn)A在曲線P：y=x²（x＞0）上，⊙A過原點(diǎn)O，且與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M．若線段OM，⊙A和曲線P上分別存在點(diǎn)B、點(diǎn)C和點(diǎn)D，使得四邊形ABCD（點(diǎn)A，B，C，D順時(shí)針排列）是正方形，則稱點(diǎn)A為曲線P的“完美點(diǎn)”．那么下列結(jié)論中正確的是（　　）

• A、曲線P上不存在“完美點(diǎn)”
• B、曲線P上只存在一個(gè)“完美點(diǎn)”，其橫坐標(biāo)大于1
• C、曲線P上只存在一個(gè)“完美點(diǎn)”，其橫坐標(biāo)大于

  1

  2

  且小于1
• D、曲線P上存在兩個(gè)“完美點(diǎn)”，其橫坐標(biāo)均大于

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：新定義

分析：假設(shè)點(diǎn)A為“完美點(diǎn)”，畫出圖象，設(shè)A（m，m²），通過討論m＜1時(shí)，m≥1時(shí)的情況從而得到答案．

解答： 解：如下圖左，如果點(diǎn)A為“完美點(diǎn)”，則AB=AD=

2

2

AC=

2

2

OA，
以A為圓心，

2

2

OA為半徑作圓T（如下圖右中虛線圓），
交y軸于點(diǎn)B，B′（可重合），交拋物線于點(diǎn)D，D′，
點(diǎn)A為“完美點(diǎn)”當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥AD，若下圖右，
（結(jié)合圖象知，B點(diǎn)一定是上方的交點(diǎn)，否則在拋物線上不存在D點(diǎn)使得AB⊥AD；
D也一定是上方的交點(diǎn)，否則A，B，C，D不是順時(shí)針），
，，
下面考慮當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)越來越大時(shí)∠BAD的變化情況，
設(shè)A（m，m²），當(dāng)m＜1時(shí)，∠AOY=45°，
此時(shí)圓T與y軸相離或相切時(shí)，此時(shí)A不是完美點(diǎn)，
故只需考慮m≥1，當(dāng)m增加時(shí)，∠BAD越來越小，且趨近于0，（推理在后面），
而當(dāng)m=1時(shí)，∠BAD＞90°，
故曲線P上存在唯一一個(gè)完美點(diǎn)，其橫坐標(biāo)大于1，
當(dāng)m增加時(shí)，∠BAD越來越小，且趨近于0°的推理：
過A作AH⊥y軸于點(diǎn)H，
分別過點(diǎn)A，D作x軸，y軸的平行線交于N，
先考慮∠BAH：cos∠BAH=

m

2 2 m2+m4

=

2

1+m2

，
于是m增大時(shí)，cos∠BAH減小且趨于0，從而∠BAH增大，且趨于90°，
再考慮∠DAN，記D（n，n²），則tan∠DAN=

n2-m2

n-m

=n+m，
隨著m的增大，OA的長增大，AD=

2

2

OA也增大，
于是m+n增大，從而tan∠DAN增大，∠DAN增大且趨近于90°，
∴∠BAD=π-∠BAH-∠DAN隨著m的增大而減小，且趨于0°，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義問題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，本題有一定難度．