Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$，若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則a的取值范圍是（-∞，2]．

Answer 1

分析 將函數(shù)為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，分離出參數(shù)a，構(gòu)造函數(shù)，基本不等式求出函數(shù)的最值，即可求出a的范圍．

解答 解：∵f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-2ax}{x（x+1）^{2}}$，
∵f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即（x+1）²-2ax≥0在（0，+∞）恒成立，
∴a≤$\frac{（x+1）^{2}}{2x}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$+2）≥$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+2）=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，
∴a≤2，
∴a的取值范圍是（-∞，2]．
故答案為：（-∞，2]．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，解決函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)性已知求參數(shù)問題，一般令導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立；解決不等式恒成立一般分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于中檔題．