Question

已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求證：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（-2，0）上是單調(diào)函數(shù)；
（2）設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），若直線AB的斜率不小于-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)原函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可求出a的范圍，再對(duì)函數(shù)f'（x）求導(dǎo)得到f''（x）后判斷其符號(hào)可得到導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（-2，0）上的單調(diào)性．
（2）表示出直線AB的斜率，將（1）中結(jié)果代入可解出a的范圍．
解答：（1）∵函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∴f'（x）=x²+ax+a，△=a²-4a＞0，∴a＞4或a＜0，且x₁+x₂=-a，x₁x₂=a
∴f''（x）=2x+a∴x∈（-2，0）時(shí)，f''（x）=2x+a∈（-4+a，a）
若a＞4時(shí)，f''（x）＞0，f′（x）在（-2，0）上是單調(diào)增函數(shù)
若a＜0時(shí)，f''（x）＜0，f′（x）在（-2，0）上是單調(diào)減函數(shù)
得證．
（2）直線AB的斜率==
=（x₂²+x₁²+x₁x₂）+=+≥-2
∵x₁+x₂=-a，x₁x₂=a
∴≥-2∴-2≤a≤6
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．