Question

若拋物線y²=2px（p＞0）上一點到焦點和拋物線對稱軸的距離分別為10和6，則拋物線方程為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由拋物線上點P到的對稱軸的距離6，設P的坐標為（x₀，±6）．根據點P坐標適合拋物線方程及點P到焦點的距離為10，聯列方程組，解之可得p與x₀的值，從而得到本題的答案．

解答： 解：∵拋物線y²=2px（p＞0）上一點到的對稱軸的距離6，
∴設該點為P，則P的坐標為（x₀，±6），
∵P到拋物線的焦點F（

p

2

，0）的距離為10，
∴由拋物線的定義，得x₀+

p

2

=10…（1），
∵點P是拋物線上的點，
∴2px₀=36…（2），
由（1）（2）聯立，解得p=2，x₀=2或p=18，x₀=1，
則拋物線方程為y²=4x或y²=36x．
故答案為：y²=4x或y²=36x

點評：本題已知拋物線上一點到焦點和到對稱軸的距離，求拋物線的焦參數p，著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．