Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，點(diǎn)M在線段PC上，且PM=2MC，N為AD的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PNB；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P-NBM的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先證明PN⊥AD，再證明BN⊥AD，即有AD⊥平面PNB，又AD∥BC，從而可證BC⊥平面PNB．
（Ⅱ）可證PN⊥平面ABCD，PN⊥NB，由PA=PD=AD=2，可得PN=NA=

3

，S_△PNB=

3

2

，又BC⊥平面PNB，PM=2MC，即可由V_P-NBM=V_M-PNB=

2

3

V_C-PNB可得三菱錐P-NBM的體積．

解答： 證明：（Ⅰ）∵PA=AD，N為AD的中點(diǎn)，
∴PN⊥AD，
又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD為等邊三角形，又因?yàn)镹為AD的中點(diǎn)，
∴BN⊥AD，又PN∩BN=N
∴AD⊥平面PNB，
∵AD∥BC
∴BC⊥平面PNB…6分
（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD
∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，
∵PA=PD=AD=2，
∴PN=NA=

3

，
∴S_△PNB=

3

2

又BC⊥平面PNB，PM=2MC，
∴V_P-NBM=V_M-PNB=

2

3

V_C-PNB=

2

3

×

1

3

×

1

2

×

3

×

3

×2=

2

3

…12分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，三菱錐體積的求法，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．