Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³-4x²+5x-4．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求曲線在點（2，f（2））處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)求出極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值．
（2）f（x）=x³-4x²+5x-4，求出f（2）=-2，求出導數(shù)，求出曲線的斜率，然后求解切線方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³-4x²+5x-4，
f′（x）=3x²-8x+5=（3x-5）（x-1），
令f′（x）=0，得x=1或x=$\frac{5}{3}$…（2分）
當x＜1或$x＞\frac{5}{3}$時，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）和（$\frac{5}{3}$，+∞）上是增函數(shù)；
當$1＜x＜\frac{5}{3}$時，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，$\frac{5}{3}$）上是減函數(shù)，
∴x=$\frac{5}{3}$時，函數(shù)取得極小值f（$\frac{5}{3}$）=$-\frac{58}{27}$，x=1時，函數(shù)取得極大值f（1）=-2…（5分）
（2）f（x）=x³-4x²+5x-4，∴f（2）=-2，
f′（x）=3x²-8x+5，∴f′（2）=1，…（8分）
所以，切線過點（2，-2），斜率為1，
故求曲線在點（2，f（2））處的切線方程為y=x-4…（10分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的大小以及函數(shù)的極值的求法，切線方程的求法，考查計算能力．