Question

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），實軸長2

3

．
（1）求雙曲線的方程
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線恒有兩個不同的交點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為原點），求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），實軸長2

3

，求出幾何量，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由直線l與雙曲線交于不同的兩點得k²≠

1

3

且k²＜1，再由∠AOB為銳角，得x_Ax_B+y_Ay_B＞0，利用韋達定理結(jié)合題設(shè)條件進行求解．

解答： 解：（1）∵中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），實軸長2

3

，
∴2a=2

3

，a=

3

，c=2，b=1，
∴雙曲線的方程為

x2

3

-y2=1；
（2）將y=kx+

2

代入雙曲線消去y得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得

1-3k2≠0 △=36(1-k2)＞0

即k²≠

1

3

且k²＜1．①
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），則x_A+x_B=

6 2 k

1-3k2

，x_Ax_B=

-9

1-3k2

．
由∠AOB為銳角，得x_Ax_B+y_Ay_B＞0，
即x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+（kx_A+

2

）（kx_B+

2

）=（k²+1）x_Ax_B+

2

k（x_A+x_B）+2
=

3k2+7

3k2-1

＞0．②

∵-3k2-7＜0

，
∴1-3k2＜0
綜上：k∈(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．