橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為1與橢圓交于AB兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由題意可設(shè)橢圓E的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．則
4
a2
+
9
b2
=1
c
a
=
1
2
a2=b2+c2
，解得即可．
（2）由F2（2，0），可得直線l的方程：y=x-2，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式即可得出．
解答： 解：（1）由題意可設(shè)橢圓E的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．
則
4
a2
+
9
b2
=1
c
a
=
1
2
a2=b2+c2
，解得a=4，b2=12，c=2．
∴橢圓E的方程為
x2
16
+
y2
12
=1．
（2）∵F2（2，0），直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為1，
∴直線l的方程為：y=x-2，
聯(lián)立
x2
16
+
y2
12
=1
y=x-2
，化為7x2-16x-32=0，
∴x1+x2=
16
7
，x1x2=-
32
7
．
∴|AB|=
2[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2[(
16
7
)2-4×(-
32
7
)]
=
48
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，若a2+b2＜c2，則△ABC是（　�。�
A、銳角三角形
B、直角三角形
C、鈍角三角形
D、銳角三角形或鈍角三角形

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知m∈R，復(fù)數(shù)z=（m2-5m+6）+（m2-3m）i．
（1）實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)？
（2）實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=
1
2
x上？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線C：
y2
λ
+x2=1．
（Ⅰ）由曲線C上任一點(diǎn)E向x軸作垂線，垂足為F，動(dòng)點(diǎn)P滿足
FP
=3
EP
，求P的軌跡方程，點(diǎn)P的軌跡可能是圓嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）如果直線l的斜率為
2
，且過(guò)點(diǎn)M（0，-2），直線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，求
MA
•
MB
的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），實(shí)軸長(zhǎng)2
3
．
（1）求雙曲線的方程
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若變量x，y滿足約束條件 
x≥1
y≥x
2x+3y≤6
，則z=2x+y的最小值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=x+
4
x
的單調(diào)遞減區(qū)間為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1(x≥2)
x-1(x＜2)
，g（x）=g′（2）x2-3x+5，則方程f[g′（1）]=x的解為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓W：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
2
，且斜率為
3
的直線l1過(guò)橢圓W的焦點(diǎn)及點(diǎn)（0，-2
3
）．
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）已知直線l2過(guò)橢圓W的左焦點(diǎn)F，交橢圓于點(diǎn)P、Q．
（�。┤魸M足
OP
•
OQ
•tan∠POQ=4（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△POQ的面積；
（ⅱ）若直線l2與兩坐標(biāo)軸都不垂直，點(diǎn)M在x軸上，且使MF為∠PMQ的一條角平分線，則稱點(diǎn)M為橢圓W的“特征點(diǎn)”，求橢圓W的特征點(diǎn)．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案