在四棱錐p-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2
2
，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（1）求證BD⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值；
（3）設(shè)點Q為線段PB上一點，且直線QC與平面PAC所成角的正弦值為
3
3
，求
PQ
PB
的值．
考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明BD⊥平面PAC；
（2）建立坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值；
（3）利用向量法，即可求出直線和平面所成的角．
解答： 解：（1）建立空間坐標(biāo)系如圖：
∵AB=4，AD=2
2
，CD=2，PA=4．
∴A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，2
2
，0），
C（2，2
2
，0），P（0，0，4），
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵
AC
=（2，2
2
，0），
BD
=（-4，2
2
，0），
∴
AC
•
BD
=-8+8=0，
即
AC
⊥
BD
，則BD⊥AC，
∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC
（2）∵BD⊥平面PAC
∴
BD
=（-4，2
2
，0）是平面PAC的法向量，
設(shè)平面PCB的法向量為
n
=（x，y，z），
則
BP
=(-4，0，4)，
CP
=(-2，-2
2
，4)，
則
BP
•
n
=-4x+4z=0
CP
•
n
=-2x-2
2
y+4z=0
，
令z=1，則x=1，y=
2
2
，即
n
=（1，
2
2
.1），
則二面角A-PC-B的余弦值|cos＜
BD
，
n
＞|=|
-4+2
2
×
2
2
24
•
10
4
|=
2
2
15
=
15
15
．
（3）
BD
=（-4，2
2
，0）是平面PAC的法向量，
若直線QC與平面PAC所成角的正弦值為
3
3
，
即
CQ
與
BD
所成角的余弦值的絕對值為
3
3
，
設(shè)
PQ
PB
=m，則
PQ
=m
PB
=m（4，0，-4）=（4m，0，-4m），
則
CQ
=
CP
+
PQ
=（-2，-2
2
，4）+（4m，0，-4m）=（4m-2，-2
2
，4-4m），
則|cos＜
CQ
，
BD
＞|=|
CQ
•
BD
|
CQ
|
BD
||
|=|
-4(4m-2)+8+4(4-4m)
24
•
32m2-48m+28
|=
3
3
，
即|
-32m+32
24
•
32m2-48m+28
|=
3
3
，
解得m=
7
12
，
即
PQ
PB
=
7
12
．
點評：本題主要考查空間直線和平面垂直的判斷，以及空間二面角和直線和平面所成角計算，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

多面體ABCDEF中，M、N分別為EC、AB的中點，底面ABCD為菱形，且∠BAD=
60°，ED⊥平面ABCD，ED∥BF，且ED=AD=2BF=2．
（Ⅰ）求證：MN∥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角A-EF-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點F（0，1）和直線l1：y=-1，過定點F與直線l1相切的動圓圓心為點C．
（1）求動點C的軌跡方程；
（2）過點F的直線l2交動點C的軌跡于兩點P、Q，交直線l1于點R，求
RP
•
RQ
的最小值；
（3）過點F且與l2垂直的直線l3交動點C的軌跡于兩點R、T，問四邊形PRQT的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若拋物線y2=2px的一個焦點與橢圓
x2
6
+
y2
2
=1的右焦點重合，
（1）求P的值；
（2）若點P（2，4）是拋物線上一點，點F為拋物線的焦點，求線段PF的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x•|x-a|．
（1）當(dāng)a=2時，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；
（2）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值；
（3）當(dāng)a＞2時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某市交管部門為了宣傳新交規(guī)舉辦交通知識問答活動，隨機對該市15～65歲的人群抽樣了n人，回答問題統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示：
 分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)
占本組的頻率
第1組[15，25）50.5
第2組[25，35） a0.9
第3組[35，45）27 x
第4組[45，55） b0.36
第5組[55，65）3 y
（1）分別求出a，b，x，y的值；
（2）從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取6人，則第2，3，4組每組應(yīng)各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，決定在所抽取的6人中隨機抽取2人頒發(fā)幸運獎，求：所抽取的2人中至少有一個第2組的人的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和函數(shù)g（x）=ax2+bx+clnx（a、b、c∈R，abc≠0）．
（Ⅰ）若a=c=-1，且函數(shù)g（x）在（0，+∞）遞減，求b的取值范圍；
（Ⅱ）我們知道“對于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，在其圖象上任意取不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB中點的橫坐標(biāo)為x0，則直線AB的斜率k=f′（x0）”．
（i）請證明該結(jié)論；
（ii）試探究g（x）=ax2+bx+clnx是否也具有該性質(zhì)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l經(jīng)過拋物線x2=4y的焦點，且與拋物線交于A，B兩點，點O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）證明：∠AOB為鈍角．
（Ⅱ）若△AOB的面積為4，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C的參數(shù)方程
x=2cosθ
y=2sinθ
（θ∈（0，π]），點P（x，y）在曲線C上，則
y+1
x+1
的取值范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊答案