Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0成立，則不等式f（x）＞0的解集是（　�。�

• A、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• B、（-1，0）
• C、（1，+∞）
• D、（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先根據(jù)[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，判斷

f(x)

x

的單調(diào)性，進(jìn)而分別看x＞1和0＜x＜1時(shí)f（x）與0的關(guān)系．再根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷-1＜x＜0和x＜-1時(shí)f（x）與0的關(guān)系，最后去x的并集即可得到答案．

解答： 解：∵[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
即x＞0時(shí)，

f(x)

x

是增函數(shù)
當(dāng)x＞1時(shí)

f(x)

x

＞f（1）=0，f（x）＞0；
0＜x＜1時(shí)，

f(x)

x

＜f（1）=0，f（x）＜0．
又f（x）是奇函數(shù)，
所以-1＜x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）＞0；
x＜-1時(shí)f（x）=-f（-x）＜0．
則不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用．在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，�？衫�用導(dǎo)函數(shù)來(lái)判斷．