在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知
3
（b2+c2-a2）=2bc，B=2A．
（1）求tanA；
（2）設(shè)
m
=（2sin（
π
4
-B），1），
n
=（sin（
π
4
+B），-1），求
m
•
n
的值．
分析：（1）根據(jù)題中的等式結(jié)合余弦定理加以計(jì)算，可得cosA=
3
3
，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系算出sinA=
6
3
，進(jìn)而可得tanA的值；
（2）根據(jù)B=2A，利用二倍角的三角函數(shù)公式算出sinB=
2
2
3
、cosB=-
1
3
，進(jìn)而算出2sin（
π
4
-B）與sin（
π
4
+B）的值，從而得到向量
m
、
n
的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可算出
m
•
n
的值．
解答：解：（1）∵在△ABC中，
3
（b2+c2-a2）=2bc，可得b2+c2-a2=
2
3
3
bc，
∴由余弦定理，得cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
2
3
3
bc
2bc
=
3
3

又∵A是三角形的內(nèi)角，可得sinA=
1-cos2A
=
6
3
．
∴tanA=
sinA
cosA
=
2
；
（2）∵B=2A，cosA=
3
3
且sinA=
6
3
．
∴sinB=sin2A=2sinAcosA=2×
3
3
×
6
3
=
2
2
3
，cosB=cos2A=cos2A-sin2A=
1
3
-
2
3
=-
1
3
．
由此可得2sin（
π
4
-B）=2（sin
π
4
cosB-cos
π
4
sinB）=
2
（cosB-sinB）=
-
2
-4
3
，
sin（
π
4
+B）=sin
π
4
cosB+cos
π
4
sinB=
2
2
（cosB+sinB）=
-
2
+4
6
．
∴
m
=（2sin（
π
4
-B），1）=（
-
2
-4
3
，1），
n
=（sin（
π
4
+B），-1）=（
-
2
+4
6
，-1）
因此，
m
•
n
=
-
2
-4
3
•
-
2
+4
6
+1×（-1）=
2-16
18
-1=-
16
9
．
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的邊之間的平方關(guān)系式，求角A的三角函數(shù)值，并依此求向量
m
、
n
的數(shù)量積．著重考查了余弦定理、三角恒等變換公式與向量數(shù)量積公式等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

8、對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．給出下列三個(gè)命題：
①若點(diǎn)C在線段AB上，則||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90o，則||AC||2+||CB||2=||AB||2；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，設(shè)復(fù)數(shù)z=sinA（sinA-sinC）+（sin2B-sin2C）i，且z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=x上．
（1）求角B的大��；
（2）若sinB=cosAsinC，△ABC的外接圓的面積為4π，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”：‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|．給出下列三個(gè)命題：
①若點(diǎn)C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖＞‖AB‖．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

①“若x+y=0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題是“若x，y互為相反數(shù)，則x+y=0”．
②在平面內(nèi)，F(xiàn)1、F2是定點(diǎn)，|F1F2|=6，動(dòng)點(diǎn)M滿足||MF1|-|MF2||=4，則點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．
③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三個(gè)角成等差數(shù)列”的充要條件．
④“若-3＜m＜5則方程
x2
5-m
+
y2
m+3
=1是橢圓”．
⑤在四面體OABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則
OE
=
1
2
a
+
1
4
b
+
1
4
c

⑥橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5．
其中真命題的序號(hào)是：
①②③⑤⑥
①②③⑤⑥
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，設(shè)復(fù)數(shù)z=sinA（sinA-sinC）+（sin2B-sin2C）i，且z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=x上．
（1）求角B的大��；
（2）若sinB=cosAsinC，△ABC的外接圓的面積為4π，求△ABC的面積．

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