Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，a），若橢圓上的點(diǎn)M滿(mǎn)足$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AM}$，則橢圓C的離心率值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），M（m，n），運(yùn)用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，可得m=$\frac{2{a}^{2}}{3c}$，n=$\frac{1}{3}$a，代入橢圓方程，結(jié)合離心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：設(shè)A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），M（m，n），又B（0，a），
由$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AM}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}}{c}=3（m-\frac{{a}^{2}}{c}）}\\{a=3n}\end{array}\right.$，
即為m=$\frac{2{a}^{2}}{3c}$，n=$\frac{1}{3}$a，
將M（m，n）代入橢圓方程，可得$\frac{4{a}^{2}}{9{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{9^{2}}$=1，
由e=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，
可得$\frac{4}{9{e}^{2}}$+$\frac{1}{9（1-{e}^{2}）}$=1，
化簡(jiǎn)可得（3e²-2）²=0，解得e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查向量的共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．