Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|-1，x∈R
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）用特殊值法判斷函數(shù)及不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；
（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性再求最值．

解答： 解：（1）當a=0時，函數(shù)f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），此時，f（x）為偶函數(shù)．
當a≠0時，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），
此時f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（2）①當x≤a時，f（x）=x²+|x-a|-1=x²-x+a-1=（x-

1

2

）²+a-

5

4

，
當a≤

1

2

時，函數(shù)f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（a）=a²-1．
若a＞

1

2

，則函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（

1

2

）=a-

5

4

．
②當x≥a時，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|-1=x²+x-a-1=（x+

1

2

）²-a-

5

4

，
若a≤-

1

2

時，則函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（-

1

2

）=-a-

5

4

．
若a＞-

1

2

，則函數(shù)f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²-1．
綜上，當a≤-

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為-a-

5

4

，
-

1

2

＜a≤

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為a²-1，
當a＞

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為a-

5

4

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及二次函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值，考查分類討論思想，綜合性較強，運算量較大．