Question

11．設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足0＜x＜y＜z＜$\frac{π}{2}$，證明：$\frac{π}{2}$+2sinxcosy+2sinycosz＞sin2x+sin2y+sin2z．

Answer 1

分析 利用作差法，結(jié)合三角恒等變換公式，即可證明結(jié)論．

解答 證明：由于sin2x+sin2y+sin2z-2sinxcosy-2sinycosz
=$\frac{1}{2}$[（sin2x+sin2y）+（sin2y+sin2z）+（sin2z+sin2x）]-2sinxcosy-2sinycosz
≤sin（x+y）cos（x-y）+sin（y+z）cos（y-z）+sin（z+x）cos（z-x）-2sinxcosycos（x-y）-2sinycoszcos（y-z）
=sin（y-x）cos（x-y）+sin（z-y）cos（y-z）+sin（z+x）cos（z-x）
=$\frac{1}{2}$sin（2y-2x）+$\frac{1}{2}$sin（2z-2y）+sin（z+x）cos（z-x）
=sin（z-x）cos（2y-x-z）+sin（z+x）cos（z-x）
≤sin（z-x）+cos（z-x）≤$\sqrt{2}$＜$\frac{π}{2}$
故$\frac{π}{2}$+2sinxcosy+2sinycosz＞sin2x+sin2y+sin2z．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，考查作差法，正確運(yùn)用三角恒等變換公式是關(guān)鍵．