Question

12．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，P是線段DE上的任意一點，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BF}$的取值范圍為[0，6]．．

Answer 1

分析 建立直角坐標系，由已知可求$\overrightarrow{AE}$=（0，2 $\sqrt{3}$），$\overrightarrow{ED}$=（2，0），$\overrightarrow{BF}$=（-3，$\sqrt{3}$），設λ=$\frac{\overrightarrow{EP}}{\overrightarrow{ED}}$∈[0，1]，可求$\overrightarrow{AP}$=（2λ，2$\sqrt{3}$），利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BF}$=-6λ+6，結合λ的范圍即可得解．

解答 解：建立如圖坐標系，設AB=2，則A（0，0），B（2，0），C（3，$\sqrt{3}$），D（2，2 $\sqrt{3}$），E（0，2 $\sqrt{3}$），F(xiàn)（-1，$\sqrt{3}$），
則：$\overrightarrow{AE}$=（0，2 $\sqrt{3}$），$\overrightarrow{ED}$=（2，0），$\overrightarrow{BF}$=（-3，$\sqrt{3}$），
設λ=$\frac{\overrightarrow{EP}}{\overrightarrow{ED}}$∈[0，1]，
則：$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{AE}$+λ$\overrightarrow{ED}$=（0，2$\sqrt{3}$）+λ（2，0）=（2λ，2$\sqrt{3}$），
則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BF}$=（2λ，2$\sqrt{3}$）•（-3，$\sqrt{3}$）=-6λ+6∈[0，6]．
故答案為：[0，6]．

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，考查了數(shù)形結合思想的運用，建立直角坐標系求得各個向量的坐標是解題的關鍵，屬于中檔題．