Question

7．若（x+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式所有的系數(shù)之和為81，則直線y=nx與曲線y=x²所圍成的封閉區(qū)域面積為$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 先確定n的值，再求出直線y=nx與曲線y=x²交點(diǎn)坐標(biāo)，利用定積分求得直線y=nx與曲線y=x²圍成圖形的面積．

解答 解：∵（x+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式所有的系數(shù)之和為81，
∴3ⁿ=81，解得n=4；
∴由直線y=4x與曲線y=x²，
可得交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（4，16），
所以直線y=4x與曲線y=x²圍成的封閉區(qū)域面積為：
${∫}_{0}^{4}$（4x-x²）dx=（2x²-$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{4}$=$\frac{32}{3}$．
故答案為$\frac{32}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用定積分求曲邊形的面積，屬于基礎(chǔ)題．