【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,AD⊥CE,垂足為D,AC平分∠BAD.
(1)求證:直線CE是⊙O的切線;
(2)求證:AC2=ABAD.
【答案】
(1)證明:連接OC,如下圖所示:
因為OA=OC,
所以∠OCA=∠OAC.
又因為AD⊥CE,
所以∠ACD+∠CAD=90°,
又因為AC平分∠BAD,
所以∠OCA=∠CAD,
所以∠OCA+∠CAD=90°,
即OC⊥CE,
所以CE是⊙O的切線.
(2)證明:連接BC,
因為AB是⊙O的直徑,
所以∠BCA=∠ADC=90°,
因為CE是⊙O的切線,
所以∠B=∠ACD,
所以△ABC∽△ACD,
所以 ,
即AC2=ABAD.
【解析】(1)連接OC,利用△OAC為等腰三角形,結合同角的余角相等,我們易結合AD⊥CE,得到OC⊥DE,根據切線的判定定理,我們易得到結論;(2)連接BC,我們易證明△ABC∽△ACD,然后相似三角形性質,相似三角形對應邊成比例,易得到結論.
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【題目】已知函數f(x)=xlnx﹣ x2﹣x+a(a∈R)在其定義域內有兩個不同的極值點.
(1)求a的取值范圍;
(2)記兩個極值點分別為x1 , x2 , 且x1<x2 . 已知λ>0,若不等式e1+λ<x1x2λ恒成立,求λ的范圍.
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【題目】已知各項為正的等比數列{an}的前n項和為Sn , S4=30,過點P(n,log2an)和Q(n+2,log2an+1)(n∈N*)的直線的一個方向向量為(﹣1,﹣1)
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn= ,數列{bn}的前n項和為Tn , 證明:對于任意n∈N* , 都有Tn .
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【題目】如圖,在四棱錐B﹣ACDE中,AE⊥平面ABC,CD∥AE,∠ABC=3∠BAC=90°,BF⊥AC于F,AC=4CD=4,AE=3.
(1)求證:BE⊥DF;
(2)求二面角B﹣DE﹣F的平面角的余弦值.
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【題目】以下四個關于圓錐曲線的命題:
①設A,B是兩個定點,k為非零常數,若|PA|-|PB|=k,則P的軌跡是雙曲線;
②過定圓C上一定點A作圓的弦AB,O為原點,若.則動點P的軌跡是橢圓;
③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
④雙曲線與橢圓有相同的焦點.
其中正確命題的序號為________.
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【題目】隨著人們社會責任感與公眾意識的不斷提高,越來越多的人成為了志愿者.某創(chuàng)業(yè)園區(qū)對其員工是否為志愿者的情況進行了抽樣調查,在隨機抽取的10位員工中,有3人是志愿者.
(1)在這10人中隨機抽取4人填寫調查問卷,求這4人中恰好有1人是志愿者的概率P1;
(2)已知該創(chuàng)業(yè)園區(qū)有1萬多名員工,從中隨機調查1人是志愿者的概率為 ,那么在該創(chuàng)業(yè)園區(qū)隨機調查4人,求其中恰有1人是志愿者的概率P2;
(3)該創(chuàng)業(yè)園區(qū)的A團隊有100位員工,其中有30人是志愿者.若在A團隊隨機調查4人,則其中恰好有1人是志愿者的概率為P3 . 試根據(Ⅰ)、(Ⅱ)中的P1和P2的值,寫出P1 , P2 , P3的大小關系(只寫結果,不用說明理由).
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【題目】如圖1,在直角梯形ADCE中,AD∥EC,∠ADC=90°,AB⊥EC,AB=EB=1, .將△ABE沿AB折到△ABE1的位置,使∠BE1C=90°.M,N分別為BE1 , CD的中點.如圖2.
(1)求證:MN∥平面ADE1;
(2)求證:AM⊥E1C;
(3)求平面AE1N與平面BE1C所成銳二面角的余弦值.
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【題目】某玩具生產公司每天計劃生產衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共個,生產一個衛(wèi)兵需分鐘,生產一個騎兵需分鐘,生產一個傘兵需分鐘,已知總生產時間不超過小時,若生產一個衛(wèi)兵可獲利潤元,生產一個騎兵可獲利潤元,生產一個傘兵可獲利潤元.
(1)用每天生產的衛(wèi)兵個數與騎兵個數表示每天的利潤(元);
(2)怎么分配生產任務才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?
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