Question

4．設數(shù)列{a_n}是首項為4，公差為1的等差數(shù)列，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，且S_n=n²+2n．
（1）求數(shù)列{a_n}及{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（2）f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為正奇數(shù)}\\{_{n}，n為正偶數(shù)}\end{array}\right.$，是否存在k∈N₊使f（k+27）=4f（k）成立？若存在求k的；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式可得a_n．由于S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，且S_n=n²+2n．利用遞推關系可得b_n．
（2）假設存在k∈N₊使f（k+27）=4f（k）成立．對k分類討論，利用f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為正奇數(shù)}\\{_{n}，n為正偶數(shù)}\end{array}\right.$，得出關于k的方程，解出即可判斷出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是首項為4，公差為1的等差數(shù)列，∴a_n=4+（n-1）×1=n+3．
∵S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，且S_n=n²+2n．
∴當n=1時，b₁=3；
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
當n=1時，上式也成立．
∴b_n=2n+1．
（2）假設存在k∈N₊使f（k+27）=4f（k）成立．
當k為正偶數(shù)時，k+27+3=4（2k+1），解得k=$\frac{26}{7}$，舍去．
當k為正奇數(shù)時，2（k+27）+1=4（k+3），解得k=$\frac{43}{2}$，舍去．
綜上可得：不存在k∈N₊使f（k+27）=4f（k）成立．

點評 本題考查了遞推式的應用、等差數(shù)列的通項公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．