Question

已知（

3	x2

+3x²）ⁿ開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和比它的二項(xiàng)式系數(shù)的和大992．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展開(kāi)式中x⁶的項(xiàng)；
（Ⅲ）求展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（Ⅰ）由題意可得4ⁿ=2ⁿ+992，解得2ⁿ 的值，可得n的值．
（Ⅱ）先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于6，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中的含x⁶的項(xiàng)．
（Ⅲ）根據(jù)第r+1項(xiàng)的展開(kāi)式系數(shù)為=

C

r 5

•3^r，r=0，1，2，3，4，5，可得展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)．

解答： 解：（Ⅰ）∵（

3	x2

+3x²）ⁿ開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和比它的二項(xiàng)式系數(shù)的和大992，
∴4ⁿ=2ⁿ+992，即 2²ⁿ-2ⁿ-32×31=0，解得2ⁿ=32，∴n=5．
（Ⅱ）由于展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 5

•3^r•x

10+4r

3

，
令

10+4r

3

=6，求得 r=2，故展開(kāi)式中x⁶的項(xiàng)為 T₃=

C

2 5

×9×x⁶=90x⁶．
（Ⅲ）由于第r+1項(xiàng)的展開(kāi)式系數(shù)為=

C

r 5

•3^r，r=0，1，2，3，4，5，
故當(dāng)r=4時(shí)，展開(kāi)式系數(shù)

C

r 5

•3^r 取得最大值，故展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)為T(mén)₅=405x

26

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．