Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點(diǎn)A為右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為上頂點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{30}}{5}$c（其中c為半焦距），則橢圓的離心率e為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由橢圓的頂點(diǎn)和截距式方程求出直線AB的方程，化為一般式方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出方程化簡(jiǎn)，再由a、b、c的關(guān)系求出離心率的值．

解答 解：由題意得，A（a，0）、B（0，b），
則直線AB的方程是$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，即bx+ay-ab=0，
因?yàn)樵�點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{30}}{5}$c，所以$\frac{\sqrt{30}}{5}$c=$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
化簡(jiǎn)得，（2a²-3b²）（3a²+2b²）=0
所以a²=$\frac{3}{2}$b²，
所以c²=$\frac{1}{2}$b²，
所以e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．