Question

5．已知直線x-2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線l：x=$\frac{10}{3}$分別交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）確定線段MN的長(zhǎng)度有無(wú)最小值，若有，請(qǐng)求出最小值，若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為A（-2，0），上頂點(diǎn)為D（0，1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），從而M（$\frac{10}{3}$，$\frac{16}{3}k$）．題設(shè)條件可以求出N（$\frac{10}{3}$，-$\frac{1}{3k}$），所以|MN|=|$\frac{16k}{3}$+$\frac{1}{3k}$|，再由均值不等式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為A（-2，0），上頂點(diǎn)為D（0，1），
∴a=2，b=1，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），從而M（$\frac{10}{3}$，$\frac{16}{3}k$）．
由y=k（x+2），代入橢圓方程得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
設(shè)S（x₁，y₁），則（-2）x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$得x₁=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，從而y₁=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$．
又B（2，0）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4k}（x-2）}\\{x=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$得N（$\frac{10}{3}$，-$\frac{1}{3k}$），
故|MN|=|$\frac{16k}{3}$+$\frac{1}{3k}$|，
又k＞0，∴|MN|=$\frac{16k}{3}$+$\frac{1}{3k}$≥2$\sqrt{\frac{16k}{3}•\frac{1}{3k}}$=$\frac{8}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{16k}{3}$=$\frac{1}{3k}$，即k=$\frac{1}{4}$時(shí)等號(hào)成立
∴k=$\frac{1}{4}$時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度取最小值$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是解析幾何中直線與圓錐曲線位置關(guān)系中復(fù)雜的題目，要求答題者擁有較高的探究轉(zhuǎn)化能力以及對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系中特征有較好的理解，且符號(hào)運(yùn)算能力較強(qiáng)才能勝任此類(lèi)題的解題工作，這是一個(gè)能力型的題，好題．