Question

3．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點重合．F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左右焦點，橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F₁且斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點，若AF₂⊥BF₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線方程求出焦點坐標，由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點重合求得b，再結(jié)合離心率求得a，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點橫坐標的和與積，結(jié)合AF₂⊥BF₂列式求得k的值．

解答 解：（1）拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點坐標為（0，$\sqrt{2}$），
∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個頂點與拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點重合，
∴$b=\sqrt{2}$．
又∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴c²=1，a²=3．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由F₁（-1，0），得直線AB的方程為y=k（x+1），
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{A{F}_{2}}•\overrightarrow{B{F}_{2}}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}）•（1-{x}_{2}，-{y}_{2}）$=1-（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=${k}^{2}+1+（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+（{k}^{2}-1）（{x}_{1}+{x}_{2}）$
=$\frac{8{k}^{2}-4}{2+3{k}^{2}}$．
∵AF₂⊥BF₂，∴$\frac{8{k}^{2}-4}{2+3{k}^{2}}=0$，
解得：$k=±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了平面向量數(shù)量積的坐標運算，是中檔題．