Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}，x≥2\\{（x-1）^3}，0＜x＜2\end{array}\right.$若關(guān)于x的方程f（x）=kx有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，1）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 首先畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合和函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：如圖所示：
①當(dāng)x≥2時(shí)，由函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$單調(diào)遞減，可得：0＜f（x）=$\frac{2}{x}$；
②當(dāng)0＜x＜2時(shí)，由函數(shù)f（x）=（x-1）³單調(diào)遞增可得：-1＜f（x）＜1．
由圖象可知：由0＜2k＜1可得0＜k＜$\frac{1}{2}$，
故當(dāng)0＜k＜$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y=kx與y=f（x）的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴滿足關(guān)于x的方程f（x）=kx有兩個(gè)不同的實(shí)根的實(shí)數(shù)k的取值范圍是
（0，$\frac{1}{2}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用數(shù)形結(jié)合求方程根的問(wèn)題；熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．