Question

已知x²+y²-4y-a=0表示一個(gè)圓．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=0，求過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線l被圓所截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二元二次方程表示圓的條件,直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（Ⅰ）通過(guò)平方，化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求a的取值范圍；
（Ⅱ）a=0，得到圓的方程，求出圓心與比較，求出直線方程，然后求解圓心到直線的距離，求出半弦長(zhǎng)，即可直線l被圓所截得的弦長(zhǎng)．

解答： 解：（Ⅰ）x²+y²-4y-a=0，配方可得：x²+（y-2）²=a+4，
x²+y²-4y-a=0表示一個(gè)圓，
a+4＞0，解得a＞-4．
a的取值范圍（-4，+∞）；
（Ⅱ）若a=0，x²+（y-2）²=4．過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線l的方程：y=

3

x，
圓的圓心（0，2），到直線的距離為：d=

2

1+( 3 )2

=

2

2

=1，
∴圓的半弦長(zhǎng)為：

22-12

=

3

，
直線被圓所截得的弦長(zhǎng)2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力．