Question

8．已知四面體ABCD，平面ABD⊥平面ABC，AB=5，BC=3，AC=4，DC與平面ABC所成角為$\frac{π}{4}$，則四面體ABCD的體積的最小值為（　�。�

• A． $\frac{12}{5}$
• B． $\frac{24}{5}$
• C． $\frac{8}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)DE⊥AB，則DE⊥平面ABC，可得∠DCE是DC與平面ABC所成角，為$\frac{π}{4}$，從而DE=CE，四面體ABCD的體積最小時(shí)，DE最小，即CE最小，此時(shí)CE⊥AB，求出CE，即可求出四面體ABCD的體積的最小值．

解答 解：設(shè)DE⊥AB，則DE⊥平面ABC，
∴∠DCE是DC與平面ABC所成角，為$\frac{π}{4}$，
∴DE=CE，
四面體ABCD的體積最小時(shí)，DE最小，即CE最小，此時(shí)CE⊥AB．
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴BC²+AC²=AB²，
∴AC⊥BC，
∴由等面積可得CE=$\frac{12}{5}$，
∴四面體ABCD的體積的最小值為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體ABCD的體積的最小值，考查線面角，考查平面與平面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．