Question

19．已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．給出如下函數(shù)：①f（x）=x；②f（x）=2^x；③f（x）=$\frac{1}{2^x}$；④f（x）=x²；則屬于集合M的函數(shù)個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)條件定義分別驗證有f（x+T）=Tf（x）是否恒成立即可．

解答 解：①若f（x）=x，
則f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，
∴x+T=Tx，不可能成立，不存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=Tf（x）成立，則①不屬于集合M的函數(shù)；
②f（x）=2^x；
則f（x+T）=2^x+T=2^T•2^x，
由f（x+T）=Tf（x）得2^T•2^x=T•2^x，
即2^T=T，
作出函數(shù)y=2^x和y=x的圖象，由圖象知兩個函數(shù)沒有交點，
即方程2^T=T無解，
∴不存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=Tf（x）成立，則②不屬于集合M的函數(shù)；
③若f（x）=$\frac{1}{2^x}$
則f（x+T）=（$\frac{1}{2}$）^x+T=（$\frac{1}{2}$）^T•（$\frac{1}{2}$）^x，
由f（x+T）=Tf（x）得（$\frac{1}{2}$）^T•（$\frac{1}{2}$）^x=T•（$\frac{1}{2}$）^x，
即（$\frac{1}{2}$）^T=T，
作出函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）^x和y=x的圖象，由圖象知兩個函數(shù)有1個交點，
即方程（$\frac{1}{2}$）^T=T有一個解，
∴存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=Tf（x）成立，則③屬于集合M的函數(shù)；
④f（x）=x²；
則f（x+T）=（x+T）²，
由f（x+T）=Tf（x）得（x+T）²=T•x²，
即x²+2xT+T²=T•x²，
則方程x²+2xT+T²=T•x²，不可能恒成立，
∴不存在非零常數(shù)T，使f（x+T）=Tf（x）成立，則④不屬于集合M的函數(shù)．
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系分別進行驗證是解決本題的關(guān)鍵．