【題目】如圖,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD//BC,BC=2AD,AD⊥CD,PD⊥平面ABCD,E為PB的中點.
(1)求證:AE//平面PDC;
(2)若BC=CD=PD,求直線AC與平面PBC所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)取的中點,連結(jié)、,推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形,從而,由此能證明平面.
(2)推導(dǎo)出,由,得,再推導(dǎo)出,,從而平面,,,,進而平面,連結(jié),,則就是直線與平面所成角,由此能求出直線與平面所成角的余弦值.
解:(1)證明:取的中點,連結(jié)、,
是的中點,,且,
,,,且,
四邊形是平行四邊形,,
又平面,平面.
(2)解:,是等腰三角形,
,又,,
平面,平面,
,又,平面,
平面,,,
又,平面,
連結(jié),,則就是直線與平面所成角,
設(shè),
在中,解得,,,
在中,解得,
在中,,
直線與平面所成角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了選拔學(xué)生參加“XX市中學(xué)生知識競賽”,先在本校進行選拔測試,若該校有100名學(xué)生參加選拔測試,并根據(jù)選拔測試成績作出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估算這100名學(xué)生參加選拔測試的平均成績;
(2)該校推薦選拔測試成績在110以上的學(xué)生代表學(xué)校參加市知識競賽,為了了解情況,在該校推薦參加市知識競賽的學(xué)生中隨機抽取2人,求選取的兩人的選拔成績在頻率分布直方圖中處于不同組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】互聯(lián)網(wǎng)時代的今天,移動互聯(lián)快速發(fā)展,智能手機技術(shù)不斷成熟,價格卻不斷下降,成為了生活中必不可少的工具中學(xué)生是對新事物和新潮流反應(yīng)最快的一個群體之一逐漸地,越來越多的中學(xué)生開始在學(xué)校里使用手機手機特別是智能手機在讓我們的生活更便捷的同時會帶來些問題,同學(xué)們?yōu)榱私馐謾C在中學(xué)生中的使用情況,對本校高二年級100名同學(xué)使用手機的情況進行調(diào)查針對調(diào)查中獲得的“每天平均使用手機進行娛樂活動的時間”進行分組整理得到如圖4的餅圖、注:圖中2,單位:小時代表分組為i的情況
求餅圖中a的值;
假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用給定區(qū)間的中點值代替,試估計樣本中的100名學(xué)生每天平均使用手機的平均時間在第幾組?只需寫出結(jié)論
從該校隨機選取一名同學(xué),能否根據(jù)題目中所給信息估計出這名學(xué)生每天平均使用手機進行娛樂活動小于小時的概率,若能,請算出這個概率;若不能,請說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:若各項為正實數(shù)的數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為“算術(shù)平方根遞推數(shù)列”.
已知數(shù)列滿足且點在二次函數(shù)的圖象上.
(1)試判斷數(shù)列是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列?若是,請說明你的理由;
(2)記,求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求出通項公式;
(3)從數(shù)列中依據(jù)某種順序自左至右取出其中的項,把這些項重新組成一個新數(shù)列:.若數(shù)列是首項為、公比為的無窮等比數(shù)列,且數(shù)列各項的和為,求正整數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知遞增數(shù)列共有2019項,且各項均不為零,,若從數(shù)列中任取兩項,,當(dāng)時,仍是數(shù)列中的項,則數(shù)列中的各項和______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項都是正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且,數(shù)列滿足,.
(1)求數(shù)列、的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足,求和;
(3)是否存在正整數(shù),,,使得,,成等差數(shù)列?若存在,求出所有滿足要求的,,,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,射線和均為筆直的公路,扇形區(qū)域(含邊界)是一蔬菜種植園,其中、分別在射線和上.經(jīng)測量得,扇形的圓心角(即)為、半徑為1千米.為了方便菜農(nóng)經(jīng)營,打算在扇形區(qū)域外修建一條公路,分別與射線、交于、兩點,并要求與扇形弧相切于點.設(shè)(單位:弧度),假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計.
(1)試將公路的長度表示為的函數(shù),并寫出的取值范圍;
(2)試確定的值,使得公路的長度最小,并求出其最小值.
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