求證：(
a+b+c
3
)3≤
a3+b3+c3
3
．a(chǎn)，b，c＞0．
考點：不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：設(shè)函數(shù)f（x）=x3（x＞0），則點P（
a+b+c
3
，f（
a+b+c
3
））在f（x）圖象上，設(shè)過P的切線方程為：y=kx+t，由于x＞0時，圖象上凹，切線在圖象的下方，則f（a）≥ka+t，f（b）≥kb+t，f（c）≥kc+t，累加即可得證．
解答： 解：設(shè)函數(shù)f（x）=x3（x＞0），
則點P（
a+b+c
3
，f（
a+b+c
3
））在f（x）圖象上，
設(shè)過P的切線方程為：y=kx+t，
由于x＞0時，圖象上凹，切線在圖象的下方，
則f（a）≥ka+t，f（b）≥kb+t，f（c）≥kc+t，
則有
f(a)+f(b)+f(c)
3
≥k•
a+b+c
3
+t，
由于f（
a+b+c
3
）=k•
a+b+c
3
+t，
則f（
a+b+c
3
）≤
f(a)+f(b)+f(c)
3
，
即有（
a+b+c
3
）3≤
a3+b3+c3
3
．
點評：本題考查不等式的證明，考查運用圖象與切線的關(guān)系證明不等式的方法，考查推理能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖：已知在?ABCD中，對角線AC交BD于O、E為DO的中點，AE交CD于F，設(shè)
AB
=
a
，
AD
=
b
，則
BF
=（　　）
A、-
1
2
a
+
b
B、-
3
4
a
+
b
C、
3
4
a
+
b
D、-
2
3
a
+
b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知⊙O的兩條弦AB與CD相互垂直，且交點為P，若
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=m
OP
，則m的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖所示的算法中，輸出的i的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-1，0），離心率為
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P（1，0），過P的直線l交橢圓C于A，B兩點，求
OA
•
OB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為
π
4
和
π
6
．過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=12，則A′B′=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若把函數(shù)f（x）的圖象向右平移
π
12
個單位后得到函數(shù)y=sin（x+
π
3
）的圖象，則f（x）的解析式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正實數(shù)a，b滿足a+2b=1，則
b+a
ab
的最小值為（　　）
A、3+2
2
B、1+
2
C、4
D、2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)曲線y=x3-2x-2在P處的切線平行于直線x-y+3=0，則點P的坐標(biāo)為
 
．

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同步練習(xí)冊答案