已知函數(shù)f（x）=
3
sinxcosx+cos2x+
1
2
．
（1）求f（x）的最小正周期，并求出當x∈[
π
6
，
π
2
]時，函數(shù)f（x）的值域；
（2）當x∈[
π
6
，
π
2
]時，若f（x）=
8
5
，求f（x-
π
12
）的值．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）化簡函數(shù)f （x）=
3
sinxcosx+cos2x+
1
2
．為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求f （x）的周期以及函數(shù)的值域；
（2）利用f（x）=
8
5
，求出sin(2x+
π
6
)的值，以及余弦函數(shù)值，然后利用兩角和與差的三角函數(shù)求解f（x-
π
12
）的值．
解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=
3
sinxcosx+cos2x+
1
2
=
3
2
sin2x+
1+cos2x
2
+
1
2
=sin（2x+
π
6
）+1，
∴T=
2π
2
=π，
由
π
6
≤x≤
π
2
得
π
2
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，
∴sin（2x+
π
6
）∈[-
1
2
，1]．
當x∈[
π
6
，
π
2
]時，函數(shù)f（x）的值域[
1
2
，2]；
（2）f(x)=sin(2x+
π
6
)+1=
8
5
，則sin(2x+
π
6
)=
3
5
；
x∈[
π
6
，
π
2
]，
π
2
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，
∴cos（2x+
π
6
）=-
1-(
3
5
)2
=-
4
5
…（9分）
f(x-
π
12
)=sin2x+1…（10分）
=sin(2x+
π
6
-
π
6
)+1
=sin（2x+
π
6
）cos
π
6
-cos（2x+
π
6
）sin
π
6
+1…（11分）
=
3
3
10
+
7
5
…（13分）
點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的周期以及函數(shù)的值域，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x-1
，x≥1
1-x
，x＜1
，若f（a）+f（0）=3，則a=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P是橢圓
x2
4
+
y2
b2
=1(0＜b＜2)短軸上的端點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點，∠F1PF2=120°
（1）求橢圓方程；
（2）是否存在直線l：y=kx-2，使l與橢圓的交點A、B落在以P為圓心的圓上？若存在，求出斜率，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為F（
2
，0），其短軸上的一個端點到F的距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準圓”方程；
（Ⅱ）點P是橢圓C的“準圓”上的動點，過點P作橢圓的切線l1，l2交“準圓”于點M，N．
（�。┊旤cP為“準圓”與y軸正半軸的交點時，求直線l1，l2的方程并證明l1⊥l2；
（ⅱ）求證：線段MN的長為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=x2+aln（x+1）（a為常數(shù)）
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單凋遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求證：0＜
f(x2)
x1
＜-
1
2
+ln2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知點P是三角形ABC所在平面外一點，且PA=BC=1，截面EFGH分別平行于PA，BC（點E，F(xiàn)，G，H分在棱AB，AC，PC，PB上）
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形且周長為定值；
（2）設PA與BC所成角為θ，求四邊形EFGH的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+
x3
3
-x2-2ax（a∈R），
（Ⅰ）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=-
1
2
時，方程f（1-x）=
(1-x)3
3
+
b
x
有實根，求實數(shù)b的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=
lnkx
2
-ln（x+1）不存在零點，則實數(shù)k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不等式x（x-3）＜0的解集是（　�。�
A、{x|x＜0}
B、{x|x＜3}
C、{x|0＜x＜3}
D、{x|x＜0或x＞3}

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