Question

13．已知a∈R．函數(shù)f（x）=-x³+3x+a．
（1）求函數(shù)f（x）的數(shù)值，并作出其草圖．
（2）當a為何值時，f（x）=0解有兩個實根．

Answer 1

分析 （1）求導f′（x）=-3x²+3=-3（x-1）（x+1），從而判斷函數(shù)的單調性及極值，從而作草圖；
（2）結合圖象可得當f（-1）=a-2=0或f（1）=2+a=0時f（x）=0解有兩個實根．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+3x+a，
∴f′（x）=-3x²+3=-3（x-1）（x+1），
∴f（x）在（-∞，-1]上是減函數(shù)，
在（-1，1）上是增函數(shù)，在[1，+∞）上是減函數(shù)；
且f（-1）=1-3+a=a-2，f（1）=-1+3+a=2+a；
故作函數(shù)f（x）=-x³+3x+a的草圖如下，
，
（2）結合圖象可知，
當f（-1）=a-2=0或f（1）=2+a=0，
即a=2或a=-2時，函數(shù)f（x）=-x³+3x+a有兩個零點，
即f（x）=0解有兩個實根．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及數(shù)形結合的思想應用．