Question

7．已知某幾何體的直觀圖（圖1）和三視圖如圖2所示，其正（主）視圖為矩形，側(cè)（左）視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（1）若M為EC中點(diǎn)，在AD上找一點(diǎn)P，使MP∥平面ABE；
（2）若N為AD中點(diǎn)，證明：FN⊥CE；
（3）求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）AP=$\frac{1}{4}$AD時(shí)，MP∥平面ABE，證明四邊形MQAP是平行四邊形，可得MP∥AQ，即可證明；
（2）證明FN⊥平面ENC，即可證明FN⊥CE；
（3）二面角E-BD-C的大小與二面角E-BD-A的大小互補(bǔ)．作AG⊥BD，連結(jié)EG，可得∠AGE是二面角E-BD-A的平面角，即可求二面角E-BD-C的正切值．

解答 （1）解：AP=$\frac{1}{4}$AD時(shí)，MP∥平面ABE，證明如下：
取EB的中點(diǎn)Q，連接AQ、MQ、MP，則MQ∥BC，且MQ=$\frac{1}{2}$BC．
又BC∥AD，且 BC=$\frac{1}{2}$AD，AP=$\frac{1}{4}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴MQ∥AP且  MQ=AP，從而，四邊形MQAP是平行四邊形．
∴MP∥AQ，又MP?平面ABE，AQ?平面ABE，
∴MP∥平面ABE；
（2）證明：連接EN，CN，則CN∥AB，故CN⊥AD．
由三視圖可知，平面ADFE⊥平面ABCD，面ADFE∩面ABCD=AD，
因?yàn)镃N?面ABCD，故CN⊥平面ADFE．
因?yàn)镕N?面ADFE，于是CN⊥FN．
又矩形ADFE，AD=2AE=8，所以FN⊥EN．
又因?yàn)镋N∩CN=N，故FN⊥平面ENC，
所以FN⊥CE．
（3）顯然二面角E-BD-C的大小與二面角E-BD-A的大小互補(bǔ)．
作AG⊥BD，連結(jié)EG，由三視圖知，AE⊥平面ABCD，∴AE⊥BD，
從而BD⊥平面AEG，∴∠AGE是二面角E-BD-A的平面角
在直角三角形DAB中，求得AG=$\frac{8}{\sqrt{5}}$，∴tan∠AGE=$\frac{EA}{AG}$=$\frac{4×\sqrt{5}}{8}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴二面角E-BD-C的正切值為-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行、垂直關(guān)系，及二面角的平面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、抽象概括能力和運(yùn)算求解能力．其中根據(jù)已知三視圖分析出幾何體的形狀及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．