Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}：滿足a₁=6，a_n+1=a_n²+4a_n+2，（n∈N^*）
（1）設(shè)C_n=log₂（a_n+2），求證{C_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：$\frac{7}{30}$≤T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）把給出的數(shù)列遞推式變形得到an+1+2=（an+2）2，兩邊取以2 為底數(shù)的對數(shù)證得答案；
（2）求出（1）中等比數(shù)列{C_n}的通項公式，代回C_n=log₂（a_n+2）可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）把b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}}$化為$_{n}=\frac{1}{{a}_{n}-2}-\frac{1}{{a}_{n+1}-2}$，求和后代入首項和a_n+1即可證得答案．

解答 （1）證明：由a_n+1=a_n²+4a_n+2，得${a}_{n+1}+2=（{a}_{n}+2）^{2}$，①
∵a₁=6＞0，∴a_n+2＞0，
把①式兩邊取以2為底數(shù)的對數(shù)，得log₂（a_n+1+2）=2log₂（a_n+2），
∵C_n=log₂（a_n+2），∴C_n+1=log₂（a_n+1+2），
則$\frac{{C}_{n+1}}{{C}_{n}}=2$，∴{C_n}是公比為2的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）得：${C}_{n}={C}_{1}•{2}^{n-1}$=${2}^{n-1}•lo{g}_{2}8=3•{2}^{n-1}$，
則log₂（a_n+2）=3•2^n-1，
∴${a}_{n}+2={2}^{3•{2}^{n-1}}$，則${a}_{n}={2}^{3•{2}^{n-1}}-2$；
（3）證明：由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}}$，得：
$_{n}=\frac{1}{{a}_{n}-2}-\frac{1}{{a}_{n+1}-2}$，
又${a}_{n}+2={2}^{3•{2}^{n-1}}$，
∴T_n=（$\frac{1}{{a}_{1}-2}-\frac{1}{{a}_{2}-2}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-2}-\frac{1}{{a}_{3}-2}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n}-2}-\frac{1}{{a}_{n+1}-2}$）
=$\frac{1}{{a}_{1}-2}-\frac{1}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{{2}^{3•{2}^{n}}-4}$．
∴$\frac{7}{30}≤$T_n$＜\frac{1}{4}＜1$．

點評 本題是數(shù)列與不等式綜合題，考查由遞推式確定等比關(guān)系，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了由放縮法證明不等式，屬中檔題．