分析 (1)把給出的數(shù)列遞推式變形得到an+1+2=(an+2)2,兩邊取以2 為底數(shù)的對數(shù)證得答案;
(2)求出(1)中等比數(shù)列{Cn}的通項公式,代回Cn=log2(an+2)可得數(shù)列{an}的通項公式;
(3)把bn=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}}$化為$_{n}=\frac{1}{{a}_{n}-2}-\frac{1}{{a}_{n+1}-2}$,求和后代入首項和an+1即可證得答案.
解答 (1)證明:由an+1=an2+4an+2,得${a}_{n+1}+2=({a}_{n}+2)^{2}$,①
∵a1=6>0,∴an+2>0,
把①式兩邊取以2為底數(shù)的對數(shù),得log2(an+1+2)=2log2(an+2),
∵Cn=log2(an+2),∴Cn+1=log2(an+1+2),
則$\frac{{C}_{n+1}}{{C}_{n}}=2$,∴{Cn}是公比為2的等比數(shù)列;
(2)解:由(1)得:${C}_{n}={C}_{1}•{2}^{n-1}$=${2}^{n-1}•lo{g}_{2}8=3•{2}^{n-1}$,
則log2(an+2)=3•2n-1,
∴${a}_{n}+2={2}^{3•{2}^{n-1}}$,則${a}_{n}={2}^{3•{2}^{n-1}}-2$;
(3)證明:由bn=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}}$,得:
$_{n}=\frac{1}{{a}_{n}-2}-\frac{1}{{a}_{n+1}-2}$,
又${a}_{n}+2={2}^{3•{2}^{n-1}}$,
∴Tn=($\frac{1}{{a}_{1}-2}-\frac{1}{{a}_{2}-2}$)+($\frac{1}{{a}_{2}-2}-\frac{1}{{a}_{3}-2}$)+…+($\frac{1}{{a}_{n}-2}-\frac{1}{{a}_{n+1}-2}$)
=$\frac{1}{{a}_{1}-2}-\frac{1}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{{2}^{3•{2}^{n}}-4}$.
∴$\frac{7}{30}≤$Tn$<\frac{1}{4}<1$.
點評 本題是數(shù)列與不等式綜合題,考查由遞推式確定等比關(guān)系,訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的和,考查了由放縮法證明不等式,屬中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1個 | B. | 2個 | C. | 3個 | D. | 4個 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [$\frac{2}{3}$,1] | B. | [$\frac{2}{3}$,+∞) | C. | [1,+∞) | D. | [0,1] |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 直線$θ=\frac{π}{6}$對稱 | B. | 直線θ=$\frac{5}{6}$π對稱 | C. | 點$(2,\frac{π}{3})$中心對稱 | D. | 極點中心對稱 |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com