Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且a_n+2=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$（n∈N^*），則如圖中第10行所有數(shù)的和為2046．

Answer 1

分析 由${a_{n+2}}=\frac{{a_{n+1}^2}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$得，$\frac{{{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{a_{n+1}^{\;}}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$，兩邊取倒數(shù)得$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}=\frac{{a_n^{\;}}}{{{a_{n+1}}}}+1$，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}=n+1$，由累乖法可得${a_n}=\frac{1}{n!}$，可得$\frac{{{a_i}{a_{n+1-i}}}}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{（n+1）!}{i!（n+1-i）!}=C_{n+1}^i$，即可得出．

解答 解：由${a_{n+2}}=\frac{{a_{n+1}^2}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$得，$\frac{{{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{a_{n+1}^{\;}}}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}$，
∴兩邊取倒數(shù)得$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}=\frac{{a_n^{\;}}}{{{a_{n+1}}}}+1$，
∴數(shù)列$\{\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}\}$是以$\frac{a_1}{a_2}=2$為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}=n+1$，∴由累乘法可得${a_n}=\frac{1}{n!}$，
∴$\frac{{{a_i}{a_{n+1-i}}}}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{（n+1）!}{i!（n+1-i）!}=C_{n+1}^i$
圖中第10行所有數(shù)的和為$\frac{{{a_1}{a_{10}}}}{{{a_{11}}}}$+$\frac{{{a_2}{a_9}}}{{{a_{11}}}}$+$\frac{{{a_3}{a_8}}}{{{a_{11}}}}$+…+$\frac{{{a_8}{a_3}}}{{{a_{11}}}}$+$\frac{{{a_9}{a_2}}}{{{a_{11}}}}$+$\frac{{{a_{10}}{a_1}}}{{{a_{11}}}}$
=$C_{11}^1+C_{11}^2+C_{11}^3+…+C_{11}^8+C_{11}^9+C_{11}^{10}$=2¹¹-2=2046．
故答案為：2046．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、組合數(shù)的計(jì)算公式、“累乘法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．