Question

10．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，P為上雙曲線右支上一點(diǎn)，線段F₂P的垂直平分線過坐標(biāo)原點(diǎn)O，若雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$，則$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：如右圖OM垂直平分PF₂，則PF₁⊥PF₂，設(shè)$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=λ，（λ＞1），
則$\left\{\begin{array}{l}{（λ|P{F}_{2}|）^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}}\\{λ|P{F}_{2}|-|P{F}_{2}|=2a}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（{λ}^{2}+1）|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}}\\{（λ-1）|P{F}_{2}|=2a}\end{array}\right.$，
則消去|PF₂|，得$\frac{{λ}^{2}+1}{（λ-1）^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}={e}^{2}$=5，解得λ=2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．