已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長為4，且點(diǎn)（1，
3
2
）在橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過橢圓右焦點(diǎn)斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）由題意a=2，設(shè)所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
b2
=1，代入已知點(diǎn)，即可得到b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線AB的方程為y=k（x-
3
），聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式，化簡整理，解方程，即可得到k，進(jìn)而得到所求直線方程．
解答： 解：（Ⅰ）由題意a=2，設(shè)所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
b2
=1．
又點(diǎn)（1，
3
2
）在橢圓上，可得b=1．
則所求橢圓方程為
x2
4
+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4，b2=1，所以c=
3
，橢圓右焦點(diǎn)為（
3
，0）．
則直線AB的方程為y=k（x-
3
）．
由
y=k(x-
3
)
x2+4y2-4=0
可得（1+4k2）x2-8
3
k2x+12k2-4=0．　   
由于直線AB過橢圓右焦點(diǎn)，可知△＞0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
8
3
k2
1+4k2
，x1x2=
12k2-4
1+4k2
，
y1y2=k2（x1-
3
）（x2-
3
）=k2[x1x2-
3
（x1+x2）+3]=
-k2
1+4k2
．
所以
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=
12k2-4
1+4k2
+
-k2
1+4k2
=
11k2-4
1+4k2
．
由
OA
•
OB
=0，即
11k2-4
1+4k2
=0，可得k2=
4
11
，即k=±
2
11
11
．
所以直線l的方程為y=±
2
11
11
（x-
3
）．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)和方程的求法，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，考查化簡整理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=
2i3
1+i
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（　�。�
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}．
（1）求A∪B，（∁RA）∩B；
（2）已知C={x|x＜a}，若A∩C=∅，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出以下四個命題，所有真命題的序號為
 
．
①從總體中抽取樣本（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），若記
.
x
=
1
n
n
i=1
xi，
.
y
=
1
n
n
i=1
yi，則回歸直線y=bx+a必過點(diǎn)（
.
x
，
.
y
）；
②將函數(shù)y=cos 2x的圖象向右平移
π
3
個單位，得到函數(shù)y=sin（2x-
π
6
）的圖象；
③已知數(shù)列{an}，那么“對任意的n∈N*，點(diǎn)Pn（n，an）都在直線y=2x+1上”是“{an}為等差數(shù)列”的充分不必要條件；
④命題“若|x|≥2，則x≥2或x≤-2”的否命題是“若|x|≥2，則-2＜x＜2”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列判斷，正確的是（　�。�
A、平行于同一平面的兩直線平行
B、垂直于同一直線的兩直線平行
C、垂直于同一平面的兩平面平行
D、垂直于同一平面的兩直線平行

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點(diǎn)F1（-2
2
，0）和F2（2
2
，0），長軸長6．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為2，離心率是
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AB與橢圓C交于AB兩點(diǎn)，直線AB的方程是y=x+1，求弦長|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2+y2=4，求z=2x+y的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標(biāo)配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估．該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．
（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入
1
6
(x2-600)萬作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入
x
5
萬元作為浮動宣傳費(fèi)用．試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．

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