考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：壓軸題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x
2-x，對其進(jìn)行求導(dǎo)，在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，求得a值；
（Ⅱ）關(guān)于x的方程f（x）=-
x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為φ（x）=0，在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，對φ（x）對進(jìn)行求導(dǎo)，從而求出b的范圍；
（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x
2-x的定義域?yàn)閧x|x＞-1}，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可以推出ln（x+1）-x
2-x≤0，令x=
，可以得到ln（
+1）＜
+，利用此不等式進(jìn)行放縮證明；
解答：
解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x
2-x
f′（x）=
-2x-1
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極值，
∴f′（0）=0
故
-2×0-1=0，
解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意，
則實(shí)數(shù)a的值為1；
（Ⅱ）由a=1知f（x）=ln（x+1）-x
2-x
由f（x）=-
x+b，得ln（x+1）-x
2+
x-b=0
令φ（x）=ln（x+1）-x
2+
x-b，
則f（x）=-
x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于φ（x）=0在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
φ′（x）=
-2x+
=
，
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，φ′（x）＞0，于是φ（x）在[0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上單調(diào)遞減，
依題意有φ（0）=-b≤0，
φ（1）=ln（1+1）-1+
-b＞0，
φ（2）=ln（1+2）-4+3-b≤0
解得，ln3-1≤b＜ln2+
，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍為：[ln3-1，ln2+
）；
（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x
2-x的定義域?yàn)閧x|x＞-1}，由（1）知f（x）=
，
令f′（x）=0得，x=0或x=-
（舍去），
∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（0）為f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）-x
2-x≤0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）
對任意正整數(shù)n，取x=
＞0得，ln（
+1）＜
+
∴l(xiāng)n（
）＜
，
故2+
+
+…+
＞ln2+ln
+ln
+…+ln
=ln（n+1）．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性，解題過程中用到了分類討論的思想，分類討論的思想也是高考的一個(gè)重要思想，要注意體會(huì)其在解題中的運(yùn)用，第三問難度比較大，利用了前兩問的結(jié)論進(jìn)行證明，此題是一道中檔題．
